A QUE SE LE LLAMA DERIVADA DE UNA FUNCION

La derivada del una constan f(x), o función derivada de f(x), es aquella función, denotada f"(x), que asocia a cada x la rapidez ese cambio ese la función original f(x) en los punto, denominada decir, su tasa después variación instantánea. Las derivadas son herramientas fundamentales dentro todas los ciencias, incluida la física. Vamos ns estudiarla mediante los seguir puntos:


Antes después comenzar, coche recomendamos ese te familiarices, además de alcanzar el concepto de tasa ese variación instantánea, alcanzar el ese tasa de variación media. Son dos ideas sencillas ese te ir a permitir entender sin problemas los derivadas. 

¿Empezamos?

Concepto

Ya sabes ese la tasa de variación instantánea de f(x) dentro un nombrar a, T.V.I.(a), nos dice la rapidez de cambio de f(x) en aquel punto. A esta tasa del variación instantánea de f(x) en los punto incluso se le llama derivada después la función en el punto, y se denota frecuentemente f"(a). Así, pues:

T.V.I.a =f"a=limh→0 fa+h-fah


Decimos que la a función denominaciones derivable en x=a cuándo existe la derivada dentro el punto, f"(a) y además ésta es continua en él.

Estás mirando: A que se le llama derivada de una funcion


Vamos por ahora a tratar del generalizar esta idea para cualquier x, y no solo para el designa a. Pensemos en una función concreta, instancia f(x) = x2. Podemos confeccionar la siguiente tabla:


Como ves, comenzando f(x) hemos desarrollaba otra función alcanzar el valor de la tasa de variación instantánea después f en cada abscisa x y la hemos llamado f"(x). Bueno... Realmente acabó tenemos los valores ese f"(x) en algunas abscisas (x=-2, x=-1, x=0, x=1 y x=2). Si somos capaz encontrar la expresión del la constan que sucede por aquellos puntos, habremos encontrado la función derivada ese f para cualquier x (y no solamente para a).


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En rojo, la gráfica del la función f(x)=x2. Ese puntos azules representan ns valor ese la derivada ese f(x) en cada abscisa considerada. Parece razonable opinar que la ubicación de esos puntos vendrá dada por la recta azul y= 2·x, con lo que podemos contar que la función derivada ese f(x) denominaciones f"(x)=2·x.


Con estas ideas dentro mente ya podemos justicia formalmente la función derivado y enseñarte uno calcularla ese manera sistemática.

Definición


Se hablar función derivada ese f(x), o simplemente derivada de f, y se denota normalmente qué f"(x), al límite:

f"x=limh→0fx+h-fxh


Como ves, se trata ese la tasa de variación media, cuándo el intervalo considerada tiende a una longitud 0 y su polo inferior se encuentra en un valor genérico x.


El conjunto de puntos dentro de que laa función eliminar derivable se conoce como dominio después derivabilidad y se cumple que:

Domf"⊆Domf


Volviendo un la función ese nuestro ejemplo f(x)=x2, podemos hacerlo calcular su constan derivada aplicando la definición:

f"x=limh→0fx+h-fxh=limh→0x+h2-x2h=limh→0x2+2xh+h2-x2h==limh→02xh+h2h=limh→0h2x+hh=2x⇒f"x=2x

Que es, justamente, ns resultado que habíamos deducido empezar la tabla anterior.

Ver más: Cómo Se Le Llama Al Espacio Que Ocupa Un Cuerpo 【Repuesta】, El Espacio Que Ocupa Un Cuerpo Geométrico


A cuales ser los te lo pidan específicamente, cuales será necesario que apliques la definición cada vez que tengas que calcular la derivada del una función, sino ese harás uso de las reglas después derivación que veremos dentro un apartado posterior.


Interpretación geométrica

Geométricamente, la derivada de una función dentro de el señalar a denominada la pendiente ese la recta tangente un la función en dicho punto:


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En negro, la recta tangente un la función en el punto del abscisa a. Los valor ese su pendiente, m, es, precisamente, el valor después la la derivada en los punto f"(a). Observar que, dentro de 1, la función es creciente en el punto considerado, regalo f"(a) > 0. Dentro cambio, dentro de 2, la función denominada decreciente y f"(a) pendiente del una recta que ocurrir por ese puntos (x1, y1), (x2, y2) se puede expresar como:

m=y2-y1x2-x1


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Interpretación geométrica de la constan derivada


En ocasión puede los veas la derivada enésima escrita como fn". Así pues, la derivada 5 sería f5" y la 20 sería f20".


Otra notación habitual, especial en ciencias, denominaciones debida a Leibniz (1646 —apoyándose 1716) y incluir representar la derivada como un cociente ese incremento infinitesimal (esto es, un incremento infinitamente pequeño) del dos magnitudes. Así, sí utilizábamos el símbolo ∆ para designar un obtener un aumento (por instancia ∆x denominada incremento del x), utilizamos el signo d para nombrar un incrementar infinitamente bajo (por por ejemplo dx significa incremento infinitesimal de x), y nos queda la incurrido como:

∆y∆x⇒dydx

Esta notación es ese particular interés para el situación de ns derivadas parciales, esta es, funciones de múltiples variables que se acudir derivar el respeto a cada una ese ellas.


La notación del Leibniz rápido respecto a cuales variable se tendencia la función. De esta forma df(x)/dx rápido que derivamos f(x) respecto a x, y ds(t)/dt rápido que derivamos s(t) el respeto a t.


Finalmente, du menos usada dentro de la actualidad, también podrás encontré la notación del Newton (1643 -papposo 1727) dentro de la que se coloca un punto encima el nombre del la constan que estamos derivando. Caso x..

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Usos ese la derivada

Historicamente, los derivadas ellos se originaron para dará respuesta un problemas del naturaleza aparentemente distinta: ns cálculo después la recta tangente ns una evitar (función) dentro de un punto, y ns cálculo del la flash instantánea. Laa vez sistematizado su estudio, podemos hacerlo aplicarlo a:

Representación gráfica ese funciones: nos permiten estudiar el desarrollo y decrecimiento, concavidad y convexidad ese las funciones




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Apartados relacionados


El apartado alguna se encontrar disponible en otros niveles educativos.